Números negativos. Para revisar y resolver las operaciones combinadas.

Números negativos. Para revisar y resolver las operaciones combinadas.

febrero 19, 2018

OPERACIONES CON NÚMEROS NEGATIVOS.

a) Suma y resta

I. Reglas de signos.

1. Cuando 2 números tengan el mismo signo se suman y se conserva el signo.

2. Cuando 2 números tengan signos diferentes se restan y se conserva el signo del mayor.

1er. Regla

(+5)+(2) = +17 Suman a la derecha positivos

| I I I I I I I I I I |

0 1 2 3 4 5 6 +7 8 9 10 11

(-6)+(-3) = -9 Negativos se suman a la izquierda

-3 -6

l l l l l l l l l l

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

2da regla.(+7 )+ (-4) = +3

-4

+7

l l l l l l l l l l

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(-5 )+ (+2 ) = -3

l l l l l l l l l l

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

Ejercicio : resuelve las siguientes sumas y representa a la recta numérica.

A ) (-10 ) + (-3 ) =-13

l l l l l l l l l l l l l l l l

-15-14-13 –12 –11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

b) (+8) + (-5) =+3

l l l l l l l l l l l l l l l l

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

c) (-8) + (10) =+2

l l l l l l l l l l l l l l l l

-10 –9-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

d) (–4) + (+3) = -1

l l l l l l l l l l l l l l l l

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

e)(+8) +(-3) = +5

l l l l l l l l l l l l l l l l

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

II. Propiedades de la suma.

1. Propiedad conmutativa.- el orden de los sumandos no altera el resultado.

2. Propiedad de cerradura.-la suma de dos o más números negativos da un numero negativo.

3. Propiedad asociativa.- no importa la forma en que asocien los números, ya que dará el mismo resultado.

4. Propiedad del elemento neutro.- a todo numero que se le sume el elemento neutro(cero) dará como resultado el mismo numero.

5. Propiedad del inverso aditivo.- a todo numero al que se sume su inverso aditivo(simétrico) dará como resultado cero.

Ejemplos: (+8)+(-8) = 0

(-10)+(+10) = 0

Multiplicación y División:

I. Reglas de los signos en la multiplicación y división:

(+)(+) = + (-8)(-2)(-5) = -80

(-) (+) = - + -

(+) (-) = -

(-) (-) = + (-3)(+2)(-5)(1) =+30

- -

Ejercicio:

a) (-3)(-25)(-54)(-84) = + 340,200

b) (–3)(-8)(-3)(-5) = + 360

c) (-3)(16)(3)(35)(-3) = +15,520

d) (-3)(-3)(-8)(-5)(-8) = -2880

e) (-3)(4)(5)(-6)(212) = +76,320

f) (-24)(-12)(-84) = - 24,192

g) 8-10)(-13)(414) = +53,820

h) (-12)(-32)(-3)(-6) = +6912

i) (–10)(-2)(-5)(-14) = +1,400

En la multiplicación de dos números con signo se determinan el valor absoluto y el signo del resultado de la siguiente manera:

El valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores.
El signo es «+» si los signos de los factores son iguales, y «−» si son distintos.

Regla de los signos

(+) × (+)=(+) Más por más igual a más.
(+) × (−)=(−) Más por menos igual a menos.
(−) × (+)=(−) Menos por más igual a menos.
(−) × (−)=(+) Menos por menos igual a más.

Ejemplo.

(+4,5) × (−6). El signo de los factores es distinto, así que el signo del resultado es «−». El producto de los valores absolutos es 4,5 × 6 = 27. O sea: (+4,5) × (−6) = −27.
(+5) × (+3). El signo de los factores es idéntico, así que el signo del resultado es «+». El producto de los valores absolutos es 5×3 = 15. O sea: (+5) × (+3) = +15.
(−7/5) × (+8/3). El signo de los factores es distinto, luego el signo del resultado es «−». El producto de los valores absolutos es 7/5 × 8/3 = 56/15. O sea: (−7/5) × (+8/3) = −56/15.
(−9) × (−2). El signo de los factores es el mismo, así que el signo del resultado es «+». El producto de los valores absolutos es 9×2 = 18. O sea: (−9) × (−2) = +18.

División[editar]

La división de números con signo es similar a la multiplicación, puesto que también respeta la regla de los signos:

En la división de dos números con signo (dividendo entre divisor) el resultado se determina como sigue:

El valor absoluto del resultado es el cociente entre los valores absolutos del dividendo y el divisor.

El signo del resultado se determina por la regla de los signos: signo «+» si los signos son iguales y «−» si son distintos.

Ejemplo.

(−36) ÷ 5 = −(36 ÷ 5) = −7,2
(+8) / (+4) = +(8/4) = +2
(−31,2) ÷ (−5,2) = +(31,2 ÷ 5,2) = +6
(+14) / (−3) = −(14/3) = −14/3

Potencias

Una potencia de un número negativo elevado a un número entero es sencilla de entender, puesto que puede descomponerse en repetidas multiplicaciones:

(−3)⁴ = (−3) × (−3) × (−3) × (−3) = +81

No siempre es posible calcular la potencia de un número negativo elevado a un exponente que no sea entero:

(−32)^1/5 = −2 , ya que (−2)⁵ = −32

No existe (−7)^1/2 , ya que el cuadrado de un número real es siempre positivo: (+) × (+) = (−) × (−) = (+)

Si el exponente es un número negativo, como 3⁻², esta operación puede entenderse debido a las propiedades usuales de las potencias cuando son multiplicadas:

Sabiendo que: 4² × 4³ = (4 × 4) × (4 × 4 × 4) = 4²⁺³ = 4⁵ ,

entonces: 3⁻² × 3³ = 3^{(−2) + (+3)} = 3¹ = 3 ,

y puesto que 3³ = 27, ha de ser 3⁻² = 1/9, ya que 27 × 1/9 = 27/9 = 3.

Resumiendo, las potencias se definen como:

La potencia de números con signo se definen en los siguientes casos:

Base positiva: el signo del resultado es siempre «+» y su valor absoluto es

Exponente positivo: el valor absoluto de la base elevada al valor absoluto del exponente.

Exponente negativo: 1 partido por el caso anterior (valor absoluto de la base elevado al valor absoluto del exponente).

Base negativa:

Si el exponente es un número entero, el signo del resultado es «+» si éste es par, y «−» si es impar.

Si el exponente no es un número entero, en general la potencia no existe (ver más abajo). En particular, sólo existe si es una fracción (irreducible) con denominador impar. En tal caso, el signo es «+» si el numerador es par y «−» si es impar.

El valor absoluto del resultado es:

Exponente positivo: el valor absoluto de la base elevada al valor absoluto del exponente.

Exponente negativo: 1 partido por el caso anterior (valor absoluto de la base elevado al valor absoluto del exponente).

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